祭祀承継者とは、祖先の祭祀を主宰し、系譜、祭具及び墳墓等の祭祀財産を承継する者のことです。
祭祀承継者をどうやって決めるかについては、民法上に規定があります。
民法８９７条では以下のように規定されています。
第１項 系譜、祭具及び墳墓の所有権は、前条の規定にかかわらず、慣習に従って祖先の祭祀を主宰すべき者が承継する。ただし、被相続人の指定に従って祖先の祭祀を主宰すべき者があるときは、その者が承継する。
第２項 前項本文の場合において慣習が明らかでないときは、同項の権利を承継すべき者は、家庭裁判所が定める。
一見すると分かりにくいのですが、整理すると以下の順番で決まることになります。
①被相続人が指定した者
②被相続人の地域の慣習
③家庭裁判所の調停又は審判によって決定した者
上記①の指定は生前の指定でもいいし、遺言による指定でも構いません。
また、書面も口頭でも構いません。
もっとも、口頭での指定の場合、親族が揃っている場での指定であれば分かりやすいのですが、被相続人と祭祀承継者として指定された者の２人だけの場で指定されたと言っても証明は難しいでしょう。
上記②は文字どおり「地域の慣習」で決めるということですが、実際、「地域の慣習」が明確にある地域というのは限られているのではないでしょうか。
この条文の趣旨としては、明確な「慣習」がなくても「こういうものは長男がやるものだ」みたいな感じでなんとなく決まるならそれでいい、宗教的な問題についてあえて法律や裁判所が口出しすべきではない、というニュアンスを感じます。
上記③は、被相続人の指定もなく、「地域の慣習」もない（なんとなく決まらなかった）場合の最後の手段です。
通常は、まずは調停において相続人間で話し合いを行い、それでも決まらなかった場合には審判で決めることになります。
審判となった場合の裁判所の判断基準としては、被相続人との身分関係や生活関係、祭祀財産の承継の意思および能力、被相続人の考え（被相続人が生きていたら誰を指定するか）など一切の事情を総合して判断されます。
具体的には、東京高裁平成１８年４月１９日決定が、「承継候補者と被相続人との間の身分関係や事実上の生活関係，承継候補者と祭具等との間の場所的関係，祭具等の取得の目的や管理等の経緯，承継候補者の祭祀主宰の意思や能力，その他一切の事情（例えば利害関係人全員の生活状況及び意見等）を総合して判断すべきであるが，祖先の祭祀は今日もはや義務ではなく，死者に対する慕情，愛情，感謝の気持ちといった心情により行われるものであるから，被相続人と緊密な生活関係・親和関係にあって，被相続人に対し上記のような心情を最も強く持ち，他方，被相続人からみれば，同人が生存していたのであれば，おそらく指定したであろう者をその承継者と定めるのが相当である。」と述べているのが参考になります。